Approximations pour pi – combien est suffisant ?
Nous avons écrit cet article le 22 juillet. Nous l’avons fait parce que si nous écrivions la date comme 22/7, nous aurions l’une des approximations les plus connues pour pi. Aujourd’hui est le Pi Approximation Day (ou Casual Pi Day) donc nous avons pensé que ce serait le bon moment pour regarder de plus près cette constante assez spéciale. Ne vous inquiétez pas, nous essaierons de garder les calculs aussi simples que possible.
Au fait, ne confondez pas aujourd’hui avec le Pi Day, que nous célébrons bien sûr le 14 mars. C’est 3,14 au format de date américain (une autre blague mathématique).
Qu’est-ce que pi?
Posez cette question à presque n’importe qui et leur réponse sera quelque chose comme :
« Oooh, je connais celui-ci, c’est 3.1415926535897… »
Ils s’arrêteront probablement avant d’arriver à autant de chiffres. Ils pourraient continuer à citer plus. De toute façon, ils ont tort.
Pi (la constante mathématique) est représenté par un pi minuscule (la lettre grecque), qui ressemble à ceci : π
Nous l’utilisons pour représenter le rapport entre la circonférence et le diamètre d’un cercle. Quelle que soit la taille du cercle, le rapport sera toujours le même, ce qui signifie que π est une constante. Depuis l’invention du calcul, nous avons pu déterminer qu’il est aussi irrationnel et transcendantal. Cela signifie que nous ne pouvons pas le représenter avec précision sous forme de fraction, et que si nous essayons de le représenter sous forme décimale, les chiffres continueront indéfiniment sans se répéter.
Pour cette raison, nous aurons toujours besoin d’approximations pour pi.
Quelles sont les approximations de pi ?
Les mathématiciens connaissent l’existence de pi en tant que constante depuis environ 4000 ans, mais ont longtemps utilisé des approximations qui relevaient davantage de la conjecture que du calcul.
Vers 1900 avant notre ère, les Babyloniens utilisaient 3,125, tandis que les anciens Égyptiens de la même période avaient une formule qui donnait 3,1605.
Archimède de Syracuse (287-212 avant notre ère) a été la première personne connue à tenter de calculer une valeur spécifique. En utilisant le théorème de Pythagore et une première version d’une technique connue sous le nom de « quadrature du cercle », il a déterminé que la valeur numérique de pi se situait quelque part entre 223/71 (3,1408) et 22/7 (3,1429).
Nous utilisons toujours sa limite supérieure comme approximation de pi aujourd’hui.
Le mathématicien chinois Zu Chongzhi (429-501 CE) a utilisé une méthode complètement différente pour arriver à 355/113 (3,1415929), qui est précis à 6 décimales incroyables.
Depuis les inventions du calcul, et plus important encore, des ordinateurs, nous avons pu déterminer des représentations décimales de plus en plus précises de pi. Actuellement (en juillet 2022), le record s’élève à 62 831 853 071 796 chiffres. Il est important de se rappeler que quel que soit le nombre de chiffres que vous atteignez, vous avez toujours une approximation, pas une valeur précise.
Quel degré de précision les gens utilisent-ils couramment ?
Eh bien, cela dépend de ce que vous faites. Différentes applications et disciplines nécessitent différents degrés de précision.
Les mathématiciens purs n’utilisent pas du tout d’approximations. Pi est pi, il n’est pas nécessaire de le convertir en une fraction polynomiale imprécise, ou pire, en un nombre décimal.
Les approximations pour pi ne permettraient pas l’identité d’Euler, qui comprend deux nombres irrationnels et transcendantaux, et un nombre imaginaire. Elle a été décrite comme la plus belle équation qui existe.
Les mathématiciens appliqués n’utilisent des approximations que lorsqu’ils apprennent à intégrer des nombres dans des équations. Il en va de même pour les physiciens ; la plupart des équations avec lesquelles ils traitent se termineront soit par l’annulation de pi, soit laissées dans le résultat final pour que quelqu’un d’autre décide de l’approximation.
Ce sont les ingénieurs qui font le plus d’approximations, car ils ont besoin de réponses qui sortent en chiffres clairs. Tout ingénieur sait qu’en insérant des facteurs dans une formule, le résultat sera précis au nombre de chiffres significatifs du facteur le moins précis.
Supposons qu’un ingénieur veuille calculer le volume d’un cylindre. Ils inscriraient les facteurs dans cette équation :
S’ils savaient que le rayon (r) était de 46,887 mm – cinq chiffres significatifs – mais seulement que la hauteur (h) était d’environ 400 mm – un chiffre significatif – alors l’utilisation de pi=3 donnerait une réponse assez bonne.
Si la précision de la hauteur pouvait être affinée à 410 mm – deux chiffres significatifs – alors pi = 3,1 serait le meilleur ajustement. L’augmentation de la précision de pi ne donne pas une réponse plus précise à moins que vous n’augmentiez en conséquence la précision des autres facteurs.
Le JPL de la NASA utilise 15 décimales pour ses calculs les plus précis. Nous n’entrerons pas dans les calculs ici, mais cet article explique pourquoi ils n’en utilisent plus. Essentiellement, ils sont satisfaits d’une marge d’erreur de 1,5 pouce sur 78 milliards de miles.
Combien pi est assez pi?
Personne qui utilise réellement pi n’est excité par une représentation numérique composée de 62 000 milliards de chiffres. Il n’a aucune fonction pratique en mathématiques, en physique ou en ingénierie.
En mathématiques ou en physique, vous travaillez généralement avec un concept plutôt qu’avec un nombre. En ingénierie, vous utilisez toute approximation pour pi qui équivaut à la précision de vos autres facteurs.
Enfin, il existe au moins une discipline qui utilise des approximations encore plus vagues pour pi – la cosmologie.
Parce qu’un cosmologiste ne connaît souvent même pas la précision des facteurs à un chiffre significatif, il peut parfois approximer pi à un ou dix, selon ce qui facilite l’élaboration des équations.
Quiconque utilise l’expression « environ 200 années-lumière » n’est pas sur le point de s’inquiéter de la précision en mètres…
Crédit image : xkcd.com – https://xkcd.com/2205/